Математика Вар 4 — пробный ЕНТ Математика

Полный список вопросов варианта «Математика Вар 4» по предмету «Математика». 40 задач с возможностью посмотреть правильный ответ и объяснение.

• №1.(Разложение на простейшие дроби)Найдите значение произведения $A \cdot B$, если $\dfrac{A}{x - 3} + \dfrac{B}{x + 2} = \dfrac{4x - 7}{x^2 - x - 6}$.
• №2.(Сумма радикалов)Упростите $3\sqrt{11} - 4\sqrt{5} - 2\sqrt{6} + 7\sqrt{5} - 8\sqrt{11} + 5\sqrt{6}$.
• №3.(Уравнения с обратными функциями)Решите уравнение $\operatorname{arctg}(3x - 5) = \dfrac{\pi}{4}$.
• №4.(Преобразование произведения тригонометрии)Вычислите $\cos 40^\circ - 2\sin 50^\circ \sin 10^\circ$.
• №5.(Диагональ параллелограмма)В параллелограмме стороны равны $3$ см и $5$ см, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите длину меньшей диагонали.
• №6.(Произведение логарифмов)Найдите количество корней уравнения $\log_2 x \cdot \log_4 x \cdot \log_8 x \cdot \log_{16} x = \dfrac{2}{3}$.
• №7.(Описанная окружность)Около треугольника $ABC$ описана окружность. Известно, что $AB = 6$ и $\angle C = 30^\circ$. Найдите длину этой окружности.
• №8.(Производная произведения)Дана функция $f(x) = \sqrt{x + 2}\cdot\cos(2x - 2)$. Найдите $f'(1)$.
• №9.(Степени с дробными показателями)Вычислите $x = 7^{\frac{3}{4}}\cdot 7^{-\frac{1}{4}}\cdot 7^{-\frac{3}{4}}\cdot 7^{-0{,}75}$.
• №10.(Радиус сферы)Найдите радиус сферы, заданной уравнением $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 12z + 13 = 0$.
• №11.(Сумма отрицательных членов прогрессии)Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии, если $a_1 = -30$ и $d = 4$.
• №12.(Угол между векторами)Найдите угол между векторами $\vec{a}(1; -1; 0)$ и $\vec{b}(1; 0; -1)$.
• №13.(Упрощение рациональных выражений)Упростите выражение $\left(\dfrac{8a^3 + b^3}{4a^2 - b^2} + \dfrac{b^2 - 4a^2}{2a + b}\right)\cdot\dfrac{1}{2ab}$.
• №14.(Иррациональные неравенства)Решите неравенство $\sqrt{x - 2} > x - 4$.
• №15.(Выражение логарифма через параметры)Выразите $\log_{30} 18$ через $a = \log_{30} 2$ и $b = \log_{30} 5$, учитывая, что $\log_{30} 30 = 1$.
• №16.(Касательная к кубической функции)Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^3 - 3x$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.
• №17.(Промежуток возрастания функции)Найдите наименьшее целое значение $x$ из промежутка возрастания функции $f(x) = \dfrac{x}{\ln x}$.
• №18.(Интеграл с заменой)Вычислите определённый интеграл $\int_0^5 \sqrt{3x + 1}\,dx$.
• №19.(Сумма квадратов корней)Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 5x + 2 = 0$. Найдите значение $x_1^2 + x_2^2$.
• №20.(Системы уравнений с радикалами)Решите систему $\begin{cases} \sqrt[3]{x + 2y} + \sqrt{x - y + 1} = 5 \\ \sqrt[3]{x + 2y} - \sqrt{x - y + 1} = 1 \end{cases}$ и найдите сумму $x + y$.
• №21.(Тригонометрическое неравенство)Решите неравенство $2\cos x \le \sqrt{3}$ на промежутке $[0; \pi]$.
• №22.(Композиция обратных функций)Вычислите $\cos\left(2\arcsin\dfrac{3}{5}\right)$.
• №23.(Геометрическая прогрессия по суммам)В геометрической прогрессии $S_3 = 7$, а $S_6 = 63$. Найдите знаменатель прогрессии.
• №24.(Наибольшее значение функции)Найдите наибольшее значение функции $f(x) = x^3 - 12x + 5$ на отрезке $[0; 3]$.
• №25.(Логарифмические неравенства)Решите неравенство $\log_{0{,}5}(2x - 3) > -2$ и укажите наибольшее целое решение.
• №26.(Векторы в параллелепипеде)Найдите сумму векторов $\vec{AB} + \vec{AD}$.
• №27.(Векторы в параллелепипеде)Найдите длину вектора $\vec{AC}$, полученного в предыдущем вопросе.
• №28.(Векторы в параллелепипеде)Найдите сумму векторов $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.
• №29.(Векторы в параллелепипеде)Найдите длину пространственной диагонали $\vec{AC_1}$.
• №30.(Векторы в параллелепипеде)Найдите косинус угла между диагональю $AC_1$ и плоскостью основания $ABCD$.
• №31.(Корни квадратного уравнения)Числа $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 4x - 6 = 0$. Установите соответствие:
• №32.(Производная как парабола)Дана функция $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$. Производная $y'$ — парабола с вершиной $A(m; n)$. Установите соответствие:
• №33.(Степени с дробными показателями)Известно, что $x = 3^{\frac{5}{6}}\cdot 3^{-\frac{1}{6}}\cdot 3^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{-1}$. Установите соответствие:
• №34.(Геометрическая прогрессия по формуле)Геометрическая прогрессия задана формулой $b_n = 3\cdot 2^{n-1}$. Установите соответствие:
• №35.(Площадь и периметр прямоугольника)Периметр прямоугольника равен $34$ см, а его площадь равна $60$ см². Установите соответствие:
• №36.(Сумма квадратов корней многочлена)Для уравнения $x^3 + 4x^2 - 7x - 10 = 0$ выберите верные утверждения о его корнях $x_1, x_2, x_3$. (Несколько правильных ответов)
• №37.(Композиция обратных функций)Вычислите $\sin\left(\arccos\dfrac{4}{5}\right)$ и выберите все равные ему выражения. (Несколько правильных ответов)
• №38.(Свойства геометрической прогрессии)Геометрическая прогрессия имеет $b_1 = 4$ и $q = \dfrac{1}{2}$. Выберите верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №39.(Тождественные преобразования)Представьте $(2x - 3)^3$ в виде многочлена и выберите все тождественно равные выражения. (Несколько правильных ответов)
• №40.(Числовые промежутки)Найдите значение $X = \sqrt{144} + \log_3 81$ и выберите промежутки, которым принадлежит $X$. (Несколько правильных ответов)