Вариант 7 — пробный ЕНТ Математика

Полный список вопросов: Вариант 7, предмет «Математика». 40 вопросов с возможностью посмотреть правильный ответ и объяснение.

• №1.(Преобразование выражений)Упростите выражение $\frac{a+3}{a^2-9}-\frac{1}{a-3}$.
• №2.(Иррациональные уравнения)Решите уравнение $\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1$.
• №3.(Тригонометрические уравнения)Сколько корней уравнения $2{\cos }^{2}x+5\cos x-3=0$ принадлежит промежутку $[0;2\pi ]$?
• №4.(Логарифмические уравнения)Решите уравнение ${\log }_5(x+3)+{\log }_5(x-1)=1$.
• №5.(Системы уравнений)Числа $x$ и $y$ — решение системы $\{\begin{array}{l}x-y=2\\ x^2+y^2=20\end{array}$. Найдите произведение $xy$.
• №6.(Показательные неравенства)Решите неравенство $2^{x^2-5}\le 8$ и укажите количество целых решений.
• №7.(Преобразование тригонометрии)Вычислите $\frac{\cos 35^{\circ }+\cos 25^{\circ }}{\sin 35^{\circ }+\sin 25^{\circ }}$.
• №8.(Касательная, параллельная прямой)К графику функции $y=x^2+2x-5$ проведена касательная, параллельная прямой $y=6x+1$. Найдите ординату точки касания.
• №9.(Логарифмы — выражение через параметр)Известно, что ${\log }_{2}5=a$. Выразите ${\log }_{4}50$ через $a$.
• №10.(Наименьшее значение тригонометрического выражения)Найдите наименьшее значение выражения $5\cos x-12\sin x$.
• №11.(Теорема синусов)В треугольнике $ABC$ сторона $a=10$ лежит против угла $A=30^{\circ }$. Найдите радиус описанной окружности.
• №12.(Дробно-рациональные неравенства)Решите неравенство $\frac{x+1}{x^2-4}\le 0$.
• №13.(Степенные уравнения)Решите уравнение $x^{\frac{3}{4}}=8$.
• №14.(Композиция обратных функций)Вычислите $\sin \left(2\mathrm{arctg}\frac{1}{2}\right)$.
• №15.(Площадь криволинейной трапеции)Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y=4-x^2$ и осью $Ox$.
• №16.(Область определения функции)Найдите область определения функции $y=\sqrt{16-x^2}+\frac{1}{x-1}$.
• №17.(Системы показательных уравнений)Решите систему $\{\begin{array}{l}{2}^x\cdot 4^y=32\\ 5^x:5^y=25\end{array}$ и найдите $y$.
• №18.(Производная произведения)Найдите $f^{\prime }(1)$, если $f(x)=(x^2+1)(2x-3)$.
• №19.(Прогрессии)Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии равна $S_n=3n^2-n$. Найдите её разность.
• №20.(Объём цилиндра)Осевое сечение цилиндра — квадрат площадью $36$ см². Найдите объём цилиндра.
• №21.(Тригонометрические уравнения)Решите уравнение $\sin 2x=\cos x$ и укажите количество корней на промежутке $[0;2\pi )$.
• №22.(Уравнения с модулем)Найдите сумму корней уравнения $x^2-4|x|-5=0$.
• №23.(Логарифмические неравенства)Решите неравенство ${\log }_{0,5}(2x-1)>-1$ и укажите его решение.
• №24.(Угол между векторами)Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}(1;2;2)$ и $\vec{b}(2;-1;2)$.
• №25.(Геометрическая прогрессия)Между числами $2$ и $54$ вставили два числа так, что все четыре образуют геометрическую прогрессию. Найдите сумму всех четырёх членов.
• №26.(Окружность на координатной плоскости)Найдите координаты центра окружности, заданной уравнением $x^2+y^2-6x-8y+9=0$.
• №27.(Окружность на координатной плоскости)Найдите радиус окружности.
• №28.(Окружность на координатной плоскости)Проходит ли окружность через начало координат $O(0;0)$?
• №29.(Окружность на координатной плоскости)Найдите длину этой окружности.
• №30.(Окружность на координатной плоскости)Какое наибольшее значение может принимать ордината $y$ точки, лежащей на окружности?
• №31.(Значения тригонометрических функций)Установите соответствие между тригонометрическим выражением и его значением:
• №32.(Середина и длина отрезка)Даны точки $A(-2;3)$ и $B(4;11)$. Установите соответствие:
• №33.(Квадратное уравнение)Дано уравнение $3x^2-12x+9=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Установите соответствие:
• №34.(Логарифмы)Установите соответствие между логарифмическим выражением и его значением:
• №35.(Ромб)Диагонали ромба равны $12$ см и $16$ см. Установите соответствие:
• №36.(Свойства показательной функции)Дана функция $y=3^x$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №37.(Тригонометрические уравнения)Уравнение $2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0$ имеет корни. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №38.(Корни квадратного уравнения)Дано уравнение $x^2-8x+12=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №39.(Производная)Дана функция $f(x)=x^3-12x+1$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №40.(Тождественные преобразования)Выберите все выражения, тождественно равные $\frac{x^2-16}{x-4}$ (при $x\ne 4$). (Несколько правильных ответов)