Математика вар 7 — пробный ЕНТ Математика

Полный список вопросов варианта «Математика вар 7» по предмету «Математика». 40 задач с возможностью посмотреть правильный ответ и объяснение.

• №1.(Преобразование выражений)Упростите выражение $\dfrac{a + 3}{a^2 - 9} - \dfrac{1}{a - 3}$.
• №2.(Иррациональные уравнения)Решите уравнение $\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1$.
• №3.(Тригонометрические уравнения)Сколько корней уравнения $2\cos^2 x + 5\cos x - 3 = 0$ принадлежит промежутку $[0; 2\pi]$?
• №4.(Логарифмические уравнения)Решите уравнение $\log_5(x + 3) + \log_5(x - 1) = 1$.
• №5.(Системы уравнений)Числа $x$ и $y$ — решение системы $\begin{cases} x - y = 2 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}$. Найдите произведение $xy$.
• №6.(Показательные неравенства)Решите неравенство $2^{x^2 - 5} \le 8$ и укажите количество целых решений.
• №7.(Преобразование тригонометрии)Вычислите $\dfrac{\cos 35^\circ + \cos 25^\circ}{\sin 35^\circ + \sin 25^\circ}$.
• №8.(Касательная, параллельная прямой)К графику функции $y = x^2 + 2x - 5$ проведена касательная, параллельная прямой $y = 6x + 1$. Найдите ординату точки касания.
• №9.(Логарифмы — выражение через параметр)Известно, что $\log_2 5 = a$. Выразите $\log_4 50$ через $a$.
• №10.(Наименьшее значение тригонометрического выражения)Найдите наименьшее значение выражения $5\cos x - 12\sin x$.
• №11.(Теорема синусов)В треугольнике $ABC$ сторона $a = 10$ лежит против угла $A = 30^\circ$. Найдите радиус описанной окружности.
• №12.(Дробно-рациональные неравенства)Решите неравенство $\dfrac{x + 1}{x^2 - 4} \le 0$.
• №13.(Степенные уравнения)Решите уравнение $x^{\frac{3}{4}} = 8$.
• №14.(Композиция обратных функций)Вычислите $\sin\left(2\arctg\dfrac{1}{2}\right)$.
• №15.(Площадь криволинейной трапеции)Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 4 - x^2$ и осью $Ox$.
• №16.(Область определения функции)Найдите область определения функции $y = \sqrt{16 - x^2} + \dfrac{1}{x - 1}$.
• №17.(Системы показательных уравнений)Решите систему $\begin{cases} 2^x \cdot 4^y = 32 \\ 5^{x} : 5^{y} = 25 \end{cases}$ и найдите $y$.
• №18.(Производная произведения)Найдите $f'(1)$, если $f(x) = (x^2 + 1)(2x - 3)$.
• №19.(Прогрессии)Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии равна $S_n = 3n^2 - n$. Найдите её разность.
• №20.(Объём цилиндра)Осевое сечение цилиндра — квадрат площадью $36$ см². Найдите объём цилиндра.
• №21.(Тригонометрические уравнения)Решите уравнение $\sin 2x = \cos x$ и укажите количество корней на промежутке $[0; 2\pi)$.
• №22.(Уравнения с модулем)Найдите сумму корней уравнения $x^2 - 4|x| - 5 = 0$.
• №23.(Логарифмические неравенства)Решите неравенство $\log_{0{,}5}(2x - 1) > -1$ и укажите его решение.
• №24.(Угол между векторами)Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}(1; 2; 2)$ и $\vec{b}(2; -1; 2)$.
• №25.(Геометрическая прогрессия)Между числами $2$ и $54$ вставили два числа так, что все четыре образуют геометрическую прогрессию. Найдите сумму всех четырёх членов.
• №26.(Окружность на координатной плоскости)Найдите координаты центра окружности.
• №27.(Окружность на координатной плоскости)Найдите радиус окружности.
• №28.(Окружность на координатной плоскости)Проходит ли окружность через начало координат $O(0; 0)$?
• №29.(Окружность на координатной плоскости)Найдите длину этой окружности.
• №30.(Окружность на координатной плоскости)Какое наибольшее значение может принимать ордината $y$ точки, лежащей на окружности?
• №31.(Значения тригонометрических функций)Установите соответствие между выражением и его значением:
• №32.(Середина и длина отрезка)Даны точки $A(-2; 3)$ и $B(4; 11)$. Установите соответствие:
• №33.(Квадратное уравнение)Дано уравнение $3x^2 - 12x + 9 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Установите соответствие:
• №34.(Логарифмы)Установите соответствие между выражением и его значением:
• №35.(Ромб)Диагонали ромба равны $12$ см и $16$ см. Установите соответствие:
• №36.(Свойства показательной функции)Дана функция $y = 3^x$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №37.(Тригонометрические уравнения)Уравнение $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ имеет корни. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №38.(Корни квадратного уравнения)Дано уравнение $x^2 - 8x + 12 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №39.(Производная)Дана функция $f(x) = x^3 - 12x + 1$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №40.(Тождественные преобразования)Выберите все выражения, тождественно равные $\dfrac{x^2 - 16}{x - 4}$ (при $x \ne 4$). (Несколько правильных ответов)