Математика Вар 5 — пробный ЕНТ Математика

Полный список вопросов варианта «Математика Вар 5» по предмету «Математика». 40 задач с возможностью посмотреть правильный ответ и объяснение.

• №1.(Степени и показатели)Упростите выражение $\dfrac{3^{n+2} - 3^n}{3^n}$.
• №2.(Сокращение дробей)Сократите дробь $\dfrac{a^2 - 5a + 6}{a^2 - 4}$.
• №3.(Теорема Виета)Числа $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 6x + 4 = 0$. Найдите $x_1^2 + x_2^2$.
• №4.(Свойства логарифмов)Вычислите $\log_5 10 + \log_5 2{,}5$.
• №5.(Показательные уравнения)Найдите сумму корней уравнения $9^x - 4\cdot 3^x + 3 = 0$.
• №6.(Вписанная окружность)Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами $6$ см и $8$ см.
• №7.(Арифметическая прогрессия)В арифметической прогрессии $a_5 = 17$ и $a_9 = 33$. Найдите сумму первых десяти членов.
• №8.(Уравнение касательной)Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^2 - 4x + 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 3$.
• №9.(Иррациональные уравнения)Решите уравнение $\sqrt{2x + 3} = x$.
• №10.(Преобразование тригонометрии)Вычислите $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$.
• №11.(Площадь поверхности конуса)Найдите площадь боковой поверхности конуса, радиус основания которого равен $3$ см, а высота — $4$ см.
• №12.(Дробно-рациональные неравенства)Найдите наименьшее целое решение неравенства $\dfrac{x - 1}{x + 2} \le 0$.
• №13.(Логарифмические уравнения)Найдите произведение корней уравнения $\lg^2 x - 3\lg x + 2 = 0$.
• №14.(Угол между векторами)Найдите угол между векторами $\vec{a}(1; \sqrt{3})$ и $\vec{b}(\sqrt{3}; 1)$.
• №15.(Область определения по графику)На рисунке изображён график функции $y = f(x)$. Укажите область определения этой функции.
• №16.(Область определения функции)Найдите область определения функции $y = \sqrt{\dfrac{x - 4}{x + 1}}$.
• №17.(Обратные тригонометрические функции)Вычислите $4\arccos\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \arcsin 1$.
• №18.(Производная сложной функции)Найдите $f'(4)$, если $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$.
• №19.(Геометрическая прогрессия)В геометрической прогрессии $S_3 = 21$, $S_6 = 189$. Найдите первый член прогрессии.
• №20.(Уравнения с модулем)Сколько корней имеет уравнение $|x^2 - 4| = 3$?
• №21.(Системы уравнений)Решите систему $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases}$ и найдите сумму абсцисс её решений.
• №22.(Теорема косинусов)В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 7$ и $AC = 8$, а угол между ними $\angle A = 60^\circ$. Найдите сторону $BC$.
• №23.(Логарифмические неравенства)Решите неравенство $\log_{0{,}5}(x - 1) \ge -3$ и укажите наибольшее целое решение.
• №24.(Объём пирамиды)Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна $6$ см, а высота — $10$ см.
• №25.(Тригонометрические уравнения)Сколько корней имеет уравнение $\sin 2x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $[0; \pi]$?
• №26.(Координатная геометрия)Найдите длину стороны $BC$.
• №27.(Координатная геометрия)Найдите площадь треугольника $ABC$.
• №28.(Координатная геометрия)Найдите координаты точки $M$ — середины стороны $BC$.
• №29.(Координатная геометрия)Найдите длину медианы $AM$, проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$.
• №30.(Координатная геометрия)Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
• №31.(Прямоугольный треугольник 30°)В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $12$ см, а один из острых углов равен $30^\circ$. Установите соответствие:
• №32.(Уравнение окружности)Дано уравнение окружности $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$. Установите соответствие:
• №33.(Трапеция)В трапеции основания равны $6$ см и $14$ см, а высота равна $5$ см. Установите соответствие:
• №34.(Вычисление логарифмов)Установите соответствие между выражением и его значением:
• №35.(Двойной угол)Известно, что $\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$, причём $\alpha$ — угол первой четверти. Установите соответствие:
• №36.(Свойства параболы)Дана функция $y = x^2 - 6x + 5$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №37.(Тригонометрические тождества)Выберите все верные тождества (при допустимых значениях аргумента). (Несколько правильных ответов)
• №38.(Вычисление логарифмов)Выберите все равенства, которые являются верными. (Несколько правильных ответов)
• №39.(Корни квадратного уравнения)Дано уравнение $2x^2 - 7x + 3 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №40.(Геометрические утверждения)Выберите все верные геометрические утверждения. (Несколько правильных ответов)