Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 15. Если к этим членам прибавить соответственно 1, 4 и 19, то получатся три последовательных члена геометрической прогрессии. Найдите положительную разность арифметической прогрессии.

Question

Accepted Answer

3

Answer

Пусть три члена арифметической прогрессии это $a-d, a, a+d$. Их сумма $(a-d)+a+(a+d) = 3a = 15$, откуда $a=5$. Значит, члены АП: $5-d, 5, 5+d$. После прибавления чисел получаем члены геометрической прогрессии: $(5-d+1), (5+4), (5+d+19)$, то есть $6-d, 9, 24+d$. По свойству геометрической прогрессии, квадрат среднего члена равен произведению соседних: $9^2 = (6-d)(24+d)$. Раскрываем скобки: $81 = 144 + 6d - 24d - d^2 \Rightarrow 81 = 144 - 18d - d^2$. Переносим все в одну сторону: $d^2 + 18d - 63 = 0$. Решаем квадратное уравнение через дискриминант $D = 18^2 - 4(1)(-63) = 324 + 252 = 576 = 24^2$. Корни: $d = \frac{-18 \pm 24}{2}$. $d_1 = \frac{6}{2} = 3$, $d_2 = \frac{-42}{2} = -21$. По условию нужна положительная разность, значит $d=3$.

Задача ЕНТ — Прогрессии

Варианты ответа

Хочешь решить полный пробный тест?

Похожие задачи по теме «Прогрессии»