Между числами $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{512}$ вставлены три числа, которые вместе с данными образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти три вставленных числа.

Question

Accepted Answer

$\frac{1}{128}$; $\frac{1}{32}$; $\frac{1}{8}$

Answer

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_n$. Тогда $b_1 = \frac{1}{2}$. Между $b_1$ и числом $\frac{1}{512}$ стоят три члена, значит $\frac{1}{512}$ является пятым членом прогрессии, $b_5 = \frac{1}{512}$. По формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, имеем $b_5 = b_1 \cdot q^4$. Подставим значения: $\frac{1}{512} = \frac{1}{2} \cdot q^4$. Отсюда $q^4 = \frac{2}{512} = \frac{1}{256}$. Так как вставленные числа положительны, знаменатель $q$ тоже должен быть положителен: $q = \sqrt[4]{\frac{1}{256}} = \frac{1}{4}$. Искомые числа: $b_2 = b_1 q = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$; $b_3 = b_2 q = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{32}$; $b_4 = b_3 q = \frac{1}{32} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{128}$.

Задача ЕНТ — Прогрессии

Варианты ответа

Хочешь решить полный пробный тест?

Похожие задачи по теме «Прогрессии»