Математика Вар 8 — пробный ЕНТ Математика

Полный список вопросов варианта «Математика Вар 8» по предмету «Математика». 40 задач с возможностью посмотреть правильный ответ и объяснение.

• №1.(Разложение на простейшие дроби)Найдите значение суммы $A + B$, если $\dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 3} = \dfrac{5x + 7}{x^2 + 2x - 3}$.
• №2.(Действия с корнями)Упростите $\dfrac{1}{\sqrt{5} - 2} - \dfrac{1}{\sqrt{5} + 2}$.
• №3.(Тригонометрические уравнения)Сколько корней уравнения $2\sin^2 x - 5\cos x - 4 = 0$ принадлежит промежутку $[0; 2\pi]$?
• №4.(Логарифмические уравнения)Решите уравнение $\lg(x^2 - 21) = \lg(4x)$.
• №5.(Системы уравнений)Числа $x$ и $y$ — решение системы $\begin{cases} x + y = 5 \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{6} \end{cases}$. Найдите произведение $xy$.
• №6.(Иррациональные неравенства)Решите неравенство $\sqrt{x + 2} \ge x$.
• №7.(Преобразование тригонометрии)Известно, что $\cos\alpha = -\dfrac{4}{5}$ и $\alpha$ — угол второй четверти. Найдите $\sin 2\alpha$.
• №8.(Касательная к графику)Составьте уравнение касательной к графику функции $y = \dfrac{1}{x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.
• №9.(Логарифмы — выражение через параметры)Известно, что $\log_2 3 = a$ и $\log_2 5 = b$. Выразите $\log_2 45$ через $a$ и $b$.
• №10.(Обратные тригонометрические функции)Вычислите $\operatorname{tg}\left(\arcsin\dfrac{3}{5} + \dfrac{\pi}{4}\right)$.
• №11.(Длина медианы треугольника)В треугольнике стороны, выходящие из вершины $A$, равны $AB = 7$ и $AC = 5$, а угол между ними $\angle A = 60^\circ$. Найдите длину стороны $BC$.
• №12.(Дробно-рациональные неравенства)Решите неравенство $\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x + 1} \ge 0$.
• №13.(Показательные уравнения)Решите уравнение $5^{x+1} + 5^{x} = 150$.
• №14.(Композиция тригонометрии)Вычислите $\cos\left(\dfrac{\pi}{3} - \alpha\right)$, если $\sin\alpha = \dfrac{1}{2}$ и $\alpha \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$.
• №15.(Определённый интеграл)Вычислите $\int_1^4 \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx$.
• №16.(Область определения функции)Найдите область определения функции $y = \dfrac{\sqrt{x + 3}}{x - 2}$.
• №17.(Системы уравнений)Решите систему $\begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 5 \\ x - y = 4 \end{cases}$ и найдите $x$.
• №18.(Вторая производная)Найдите $f''(2)$, если $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x$.
• №19.(Прогрессии)Сумма первых $n$ членов прогрессии равна $S_n = n^2 + 4n$. Найдите $a_3$.
• №20.(Объём шара)Площадь поверхности шара равна $36\pi$ см². Найдите его объём.
• №21.(Тригонометрические уравнения)Решите уравнение $\sin x + \cos x = 1$ и укажите количество корней на промежутке $[0; 2\pi)$.
• №22.(Уравнения с модулем)Найдите произведение корней уравнения $|x - 2| = x^2 - 2x$.
• №23.(Логарифмические неравенства)Решите неравенство $\log_3(x - 2) \le 2$ и укажите количество целых решений.
• №24.(Векторы в пространстве)Найдите длину вектора $\vec{a} = \vec{m} + 2\vec{n}$, если $\vec{m}(1; 0; 2)$ и $\vec{n}(2; -1; 1)$.
• №25.(Геометрическая прогрессия)Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна $9$, а сумма квадратов её членов равна $\dfrac{81}{5}$. Найдите первый член прогрессии.
• №26.(Равнобедренная трапеция)Найдите высоту трапеции.
• №27.(Равнобедренная трапеция)Найдите среднюю линию трапеции.
• №28.(Равнобедренная трапеция)Найдите площадь трапеции.
• №29.(Равнобедренная трапеция)Найдите периметр трапеции.
• №30.(Равнобедренная трапеция)Найдите длину диагонали $AC$ трапеции.
• №31.(Значения тригонометрических функций)Установите соответствие между выражением и его значением:
• №32.(Производная функции)Для функции $f(x) = x^3 - 3x^2$ установите соответствие:
• №33.(Прямая на плоскости)Дана прямая $y = -2x + 6$. Установите соответствие:
• №34.(Логарифмы)Установите соответствие между выражением и его значением:
• №35.(Прямоугольный параллелепипед)Прямоугольный параллелепипед имеет измерения $3$ см, $4$ см и $12$ см. Установите соответствие:
• №36.(Свойства квадратичной функции)Дана функция $y = -x^2 + 4x - 3$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №37.(Тригонометрические тождества)Выберите все верные равенства (при допустимых значениях). (Несколько правильных ответов)
• №38.(Свойства логарифмов)Выберите все верные равенства. (Несколько правильных ответов)
• №39.(Корни квадратного уравнения)Дано уравнение $x^2 + 2x - 15 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №40.(Свойства функции и производной)Дана функция $f(x) = x^3 - 3x + 2$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)