Математика Вар 8 — пробный ЕНТ Математика

Полный список вопросов варианта «Математика Вар 8» по предмету «Математика». 40 задач с возможностью посмотреть правильный ответ и объяснение.

• №1.(Разложение на простейшие дроби)Найдите значение суммы $A+B$, если $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}=\frac{5x+7}{x^2+2x-3}$.
• №2.(Действия с корнями)Упростите $\frac{1}{\sqrt{5}-2}-\frac{1}{\sqrt{5}+2}$.
• №3.(Тригонометрические уравнения)Сколько корней уравнения $2{\sin }^{2}x-5\cos x-4=0$ принадлежит промежутку $[0;2\pi ]$?
• №4.(Логарифмические уравнения)Решите уравнение $\lg (x^2-21)=\lg (4x)$.
• №5.(Системы уравнений)Числа $x$ и $y$ — решение системы $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\end{array}$. Найдите произведение $xy$.
• №6.(Иррациональные неравенства)Решите неравенство $\sqrt{x+2}\ge x$.
• №7.(Преобразование тригонометрии)Известно, что $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$ и $\alpha$ — угол второй четверти. Найдите $\sin 2\alpha$.
• №8.(Касательная к графику)Составьте уравнение касательной к графику функции $y=\frac{1}{x}$ в точке с абсциссой $x_0=2$.
• №9.(Логарифмы — выражение через параметры)Известно, что ${\log }_{2}3=a$ и ${\log }_{2}5=b$. Выразите ${\log }_{2}45$ через $a$ и $b$.
• №10.(Обратные тригонометрические функции)Вычислите $\mathrm{tg}\left(\arcsin \frac{3}{5}+\frac{\pi }{4}\right)$.
• №11.(Длина медианы треугольника)В треугольнике стороны, выходящие из вершины $A$, равны $AB=7$ и $AC=5$, а угол между ними $\angle A=60^{\circ }$. Найдите длину стороны $BC$.
• №12.(Дробно-рациональные неравенства)Решите неравенство $\frac{x^2-5x+6}{x+1}\ge 0$.
• №13.(Показательные уравнения)Решите уравнение $5^{x+1}+5^x=150$.
• №14.(Композиция тригонометрии)Вычислите $\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)$, если $\sin \alpha =\frac{1}{2}$ и $\alpha \in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.
• №15.(Определённый интеграл)Вычислите ${\int }_1^4\frac{1}{\sqrt{x}}dx$.
• №16.(Область определения функции)Найдите область определения функции $y=\frac{\sqrt{x+3}}{x-2}$.
• №17.(Системы уравнений)Решите систему $\{\begin{array}{l}{\log }_{2}x+{\log }_{2}y=5\\ x-y=4\end{array}$ и найдите $x$.
• №18.(Вторая производная)Найдите $f^{\prime \prime }(2)$, если $f(x)=x^4-3x^2+2x$.
• №19.(Прогрессии)Сумма первых $n$ членов прогрессии равна $S_n=n^2+4n$. Найдите $a_3$.
• №20.(Объём шара)Площадь поверхности шара равна $36\pi$ см². Найдите его объём.
• №21.(Тригонометрические уравнения)Решите уравнение $\sin x+\cos x=1$ и укажите количество корней на промежутке $[0;2\pi )$.
• №22.(Уравнения с модулем)Найдите произведение корней уравнения $|x-2|=x^2-2x$.
• №23.(Логарифмические неравенства)Решите неравенство ${\log }_3(x-2)\le 2$ и укажите количество целых решений.
• №24.(Векторы в пространстве)Найдите длину вектора $\vec{a}=\vec{m}+2\vec{n}$, если $\vec{m}(1;0;2)$ и $\vec{n}(2;-1;1)$.
• №25.(Геометрическая прогрессия)Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна $9$, а сумма квадратов её членов равна $\frac{81}{5}$. Найдите первый член прогрессии.
• №26.(Равнобедренная трапеция)Найдите высоту трапеции.
• №27.(Равнобедренная трапеция)Найдите среднюю линию трапеции.
• №28.(Равнобедренная трапеция)Найдите площадь трапеции.
• №29.(Равнобедренная трапеция)Найдите периметр трапеции.
• №30.(Равнобедренная трапеция)Найдите длину диагонали $AC$ трапеции.
• №31.(Значения тригонометрических функций)Установите соответствие между выражением и его значением:
• №32.(Производная функции)Для функции $f(x)=x^3-3x^2$ установите соответствие:
• №33.(Прямая на плоскости)Дана прямая $y=-2x+6$. Установите соответствие:
• №34.(Логарифмы)Установите соответствие между выражением и его значением:
• №35.(Прямоугольный параллелепипед)Прямоугольный параллелепипед имеет измерения $3$ см, $4$ см и $12$ см. Установите соответствие:
• №36.(Свойства квадратичной функции)Дана функция $y=-x^2+4x-3$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №37.(Тригонометрические тождества)Выберите все верные равенства (при допустимых значениях). (Несколько правильных ответов)
• №38.(Свойства логарифмов)Выберите все верные равенства. (Несколько правильных ответов)
• №39.(Корни квадратного уравнения)Дано уравнение $x^2+2x-15=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №40.(Свойства функции и производной)Дана функция $f(x)=x^3-3x+2$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)