В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$, вписана правильная треугольная пирамида. Сторона основания пирамиды равна $6\sqrt{3}$ см. Найдите объём конуса.

Question

Accepted Answer

$72\sqrt{3}\pi$ см$^3$

Answer

Основание конуса является окружностью, описанной около основания пирамиды. Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. В нашем случае $a=6\sqrt{3}$ см, поэтому $R = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$ см. Высота конуса $H$ связана с радиусом $R$ и углом наклона образующей $\alpha=60^\circ$ соотношением $H = R \cdot 	an(\alpha)$. $H = 6 \cdot 	an(60^\circ) = 6\sqrt{3}$ см. Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$. Подставляем найденные значения: $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 6\sqrt{3} = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 6\sqrt{3} = 12\pi \cdot 6\sqrt{3} = 72\sqrt{3}\pi$ см$^3$.

Задача ЕНТ — Стереометрия

Варианты ответа

Хочешь решить полный пробный тест?

Похожие задачи по теме «Стереометрия»