Найдите целое решение неравенства $\log_2(x-1) + \log_2(x-3)

Question

Найдите целое решение неравенства $\log_2(x-1) + \log_2(x-3) < 3$.

Accepted Answer

4

Answer

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ): $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$ и $x-3 > 0 \Rightarrow x > 3$. Объединяя, получаем ОДЗ: $x > 3$. Теперь решаем неравенство. Используем свойство логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$: $\log_2((x-1)(x-3)) < 3$. Представим 3 как логарифм по основанию 2: $3 = \log_2(2^3) = \log_2(8)$. Получаем $\log_2(x^2 - 4x + 3) < \log_2(8)$. Так как основание логарифма 2 > 1, знак неравенства сохраняется: $x^2 - 4x + 3 < 8 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 < 0$. Находим корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$: $x_1 = -1, x_2 = 5$. Неравенство $(x+1)(x-5) < 0$ выполняется на интервале $(-1, 5)$. Учитывая ОДЗ ($x > 3$), получаем итоговое решение: $x \in (3, 5)$. Единственное целое число в этом интервале - это 4.

Задача ЕНТ — Неравенства

Варианты ответа

Хочешь решить полный пробный тест?

Похожие задачи по теме «Неравенства»