Математика Вар 6 — пробный ЕНТ Математика

Полный список вопросов варианта «Математика Вар 6» по предмету «Математика». 40 задач с возможностью посмотреть правильный ответ и объяснение.

• №1.(Преобразование выражений)Упростите выражение $\dfrac{a^2 - b^2}{a^2 + ab} \cdot \dfrac{a}{a - b}$.
• №2.(Иррациональные уравнения)Решите уравнение $\sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 1} = 5$.
• №3.(Тригонометрические уравнения)Сколько корней уравнения $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$ принадлежит промежутку $[0; 2\pi]$?
• №4.(Логарифмические уравнения)Решите уравнение $\log_3(x - 2) + \log_3(x - 4) = 1$ и найдите его корень.
• №5.(Системы уравнений)Числа $x$ и $y$ — решение системы $\begin{cases} x + y = 6 \\ x^3 + y^3 = 72 \end{cases}$. Найдите произведение $xy$.
• №6.(Показательные неравенства)Решите неравенство $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 3x} \ge \dfrac{1}{16}$.
• №7.(Преобразование тригонометрии)Вычислите $\dfrac{\sin 40^\circ + \sin 20^\circ}{\cos 40^\circ + \cos 20^\circ}$.
• №8.(Касательная, параллельная прямой)К графику функции $y = x^2 - 5x + 6$ проведена касательная, параллельная прямой $y = 3x - 1$. Найдите абсциссу точки касания.
• №9.(Логарифмы — замена основания)Известно, что $\log_2 3 = a$. Выразите $\log_8 12$ через $a$.
• №10.(Наибольшее значение тригонометрического выражения)Найдите наибольшее значение выражения $3\sin x + 4\cos x$.
• №11.(Площадь треугольника)Стороны треугольника равны $5$ см и $8$ см, а угол между ними $30^\circ$. Найдите площадь треугольника.
• №12.(Дробно-рациональные неравенства)Решите неравенство $\dfrac{x^2 - 4}{x - 3} \ge 0$.
• №13.(Степенные уравнения)Решите уравнение $x^{\frac{2}{3}} = 4$.
• №14.(Композиция обратных функций)Вычислите $\cos\left(\arcsin\dfrac{3}{5} + \arccos\dfrac{5}{13}\right)$.
• №15.(Площадь криволинейной трапеции)Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$ и прямой $y = 2x + 3$.
• №16.(Область определения функции)Найдите область определения функции $y = \log_2(x^2 - x - 6)$.
• №17.(Системы показательных уравнений)Решите систему $\begin{cases} 3^x \cdot 3^y = 81 \\ 3^x : 3^y = 9 \end{cases}$ и найдите $x$.
• №18.(Вторая производная)Найдите $f''(1)$, если $f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x$.
• №19.(Прогрессии)Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии равна $S_n = 2n^2 + 3n$. Найдите пятый член прогрессии.
• №20.(Объём конуса)Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной $6$ см. Найдите объём конуса.
• №21.(Тригонометрические уравнения)Решите уравнение $\cos 2x + \cos x = 0$ и укажите количество корней на промежутке $[0; 2\pi)$.
• №22.(Модуль и уравнения)Найдите сумму корней уравнения $x^2 - 5|x| + 6 = 0$.
• №23.(Логарифмические неравенства)Решите неравенство $\log_2(x - 1) < 3$ и укажите количество натуральных решений.
• №24.(Скалярное произведение)При каком значении $m$ векторы $\vec{a}(2; -3; 1)$ и $\vec{b}(m; 2; 4)$ перпендикулярны?
• №25.(Биквадратное уравнение)Найдите сумму всех корней уравнения $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.
• №26.(Правильная пирамида)Найдите площадь основания пирамиды.
• №27.(Правильная пирамида)Найдите объём пирамиды.
• №28.(Правильная пирамида)Найдите апофему пирамиды (высоту боковой грани).
• №29.(Правильная пирамида)Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
• №30.(Правильная пирамида)Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
• №31.(Значения тригонометрических функций)Установите соответствие между выражением и его значением:
• №32.(Координаты вектора)Даны точки $A(1; 2)$ и $B(4; 6)$. Установите соответствие:
• №33.(Квадратное уравнение)Дано уравнение $2x^2 - 8x + 6 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Установите соответствие:
• №34.(Логарифмы)Установите соответствие между выражением и его значением:
• №35.(Параллелограмм)В параллелограмме стороны равны $5$ см и $7$ см, а острый угол $30^\circ$. Установите соответствие:
• №36.(Свойства логарифмической функции)Дана функция $y = \log_2 x$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №37.(Тригонометрические уравнения)Уравнение $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ имеет корни. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №38.(Корни квадратного уравнения)Дано уравнение $x^2 - 10x + 21 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №39.(Производная)Дана функция $f(x) = x^3 - 3x$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №40.(Тождественные преобразования)Выберите все выражения, тождественно равные $\dfrac{x^2 - 9}{x + 3}$ (при $x \ne -3$). (Несколько правильных ответов)