Математика Вар 6 — пробный ЕНТ Математика

Полный список вопросов варианта «Математика Вар 6» по предмету «Математика». 40 задач с возможностью посмотреть правильный ответ и объяснение.

• №1.(Преобразование выражений)Упростите выражение $\frac{a^2-b^2}{a^2+ab}\cdot \frac{a}{a-b}$.
• №2.(Иррациональные уравнения)Решите уравнение $\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}=5$.
• №3.(Тригонометрические уравнения)Сколько корней уравнения $2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0$ принадлежит промежутку $[0;2\pi ]$?
• №4.(Логарифмические уравнения)Решите уравнение ${\log }_3(x-2)+{\log }_3(x-4)=1$ и найдите его корень.
• №5.(Системы уравнений)Числа $x$ и $y$ — решение системы $\{\begin{array}{l}x+y=6\\ x^3+y^3=72\end{array}$. Найдите произведение $xy$.
• №6.(Показательные неравенства)Решите неравенство ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-3x}\ge \frac{1}{16}$.
• №7.(Преобразование тригонометрии)Вычислите $\frac{\sin 40^{\circ }+\sin 20^{\circ }}{\cos 40^{\circ }+\cos 20^{\circ }}$.
• №8.(Касательная, параллельная прямой)К графику функции $y=x^2-5x+6$ проведена касательная, параллельная прямой $y=3x-1$. Найдите абсциссу точки касания.
• №9.(Логарифмы — замена основания)Известно, что ${\log }_{2}3=a$. Выразите ${\log }_{8}12$ через $a$.
• №10.(Наибольшее значение тригонометрического выражения)Найдите наибольшее значение выражения $3\sin x+4\cos x$.
• №11.(Площадь треугольника)Стороны треугольника равны $5$ см и $8$ см, а угол между ними $30^{\circ }$. Найдите площадь треугольника.
• №12.(Дробно-рациональные неравенства)Решите неравенство $\frac{x^2-4}{x-3}\ge 0$.
• №13.(Степенные уравнения)Решите уравнение $x^{\frac{2}{3}}=4$.
• №14.(Композиция обратных функций)Вычислите $\cos \left(\arcsin \frac{3}{5}+\arccos \frac{5}{13}\right)$.
• №15.(Площадь криволинейной трапеции)Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2$ и прямой $y=2x+3$.
• №16.(Область определения функции)Найдите область определения функции $y={\log }_2(x^2-x-6)$.
• №17.(Системы показательных уравнений)Решите систему $\{\begin{array}{l}{3}^x\cdot 3^y=81\\ 3^x:3^y=9\end{array}$ и найдите $x$.
• №18.(Вторая производная)Найдите $f^{\prime \prime }(1)$, если $f(x)=x^4-2x^3+5x$.
• №19.(Прогрессии)Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии равна $S_n=2n^2+3n$. Найдите пятый член прогрессии.
• №20.(Объём конуса)Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной $6$ см. Найдите объём конуса.
• №21.(Тригонометрические уравнения)Решите уравнение $\cos 2x+\cos x=0$ и укажите количество корней на промежутке $[0;2\pi )$.
• №22.(Модуль и уравнения)Найдите сумму корней уравнения $x^2-5|x|+6=0$.
• №23.(Логарифмические неравенства)Решите неравенство ${\log }_2(x-1)<3$ и укажите количество натуральных решений.
• №24.(Скалярное произведение)При каком значении $m$ векторы $\vec{a}(2;-3;1)$ и $\vec{b}(m;2;4)$ перпендикулярны?
• №25.(Биквадратное уравнение)Найдите сумму всех корней уравнения $x^4-13x^2+36=0$.
• №26.(Правильная пирамида)Найдите площадь основания пирамиды.
• №27.(Правильная пирамида)Найдите объём пирамиды.
• №28.(Правильная пирамида)Найдите апофему пирамиды (высоту боковой грани).
• №29.(Правильная пирамида)Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
• №30.(Правильная пирамида)Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
• №31.(Значения тригонометрических функций)Установите соответствие между выражением и его значением:
• №32.(Координаты вектора)Даны точки $A(1;2)$ и $B(4;6)$. Установите соответствие:
• №33.(Квадратное уравнение)Дано уравнение $2x^2-8x+6=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Установите соответствие:
• №34.(Логарифмы)Установите соответствие между выражением и его значением:
• №35.(Параллелограмм)В параллелограмме стороны равны $5$ см и $7$ см, а острый угол $30^{\circ }$. Установите соответствие:
• №36.(Свойства логарифмической функции)Дана функция $y={\log }_{2}x$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №37.(Тригонометрические уравнения)Уравнение $2{\cos }^{2}x-\cos x-1=0$ имеет корни. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №38.(Корни квадратного уравнения)Дано уравнение $x^2-10x+21=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №39.(Производная)Дана функция $f(x)=x^3-3x$. Выберите все верные утверждения. (Несколько правильных ответов)
• №40.(Тождественные преобразования)Выберите все выражения, тождественно равные $\frac{x^2-9}{x+3}$ (при $x\ne -3$). (Несколько правильных ответов)