Найдите произведение $x_0 \cdot y_0$ для решения $(x_0; y_0)$ системы уравнений: $\begin{cases} \log_2(x) + \log_4(y) = 4 \ \log_4(x) + \log_2(y) = 5 \end{cases}$

Question

Accepted Answer

64

Answer

Приведем все логарифмы к основанию 2, используя формулу $\log_{a^k}(b) = \frac{1}{k}\log_a(b)$. Так, $\log_4(y) = \log_{2^2}(y) = \frac{1}{2}\log_2(y)$ и $\log_4(x) = \frac{1}{2}\log_2(x)$. Система примет вид: $\begin{cases} \log_2(x) + \frac{1}{2}\log_2(y) = 4 \ \frac{1}{2}\log_2(x) + \log_2(y) = 5 \end{cases}$. Сделаем замену $a = \log_2(x)$, $b = \log_2(y)$. $\begin{cases} a + 0.5b = 4 \ 0.5a + b = 5 \end{cases}$. Умножим оба уравнения на 2: $\begin{cases} 2a + b = 8 \ a + 2b = 10 \end{cases}$. Из первого уравнения выразим $b = 8 - 2a$ и подставим во второе: $a + 2(8 - 2a) = 10 \Rightarrow a + 16 - 4a = 10 \Rightarrow -3a = -6 \Rightarrow a = 2$. Тогда $b = 8 - 2(2) = 4$. Возвращаемся к исходным переменным: $\log_2(x) = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4$. $\log_2(y) = 4 \Rightarrow y = 2^4 = 16$. Произведение $x_0 \cdot y_0 = 4 \cdot 16 = 64$.

Задача ЕНТ — Логарифмы

Варианты ответа

Хочешь решить полный пробный тест?

Похожие задачи по теме «Логарифмы»