Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$ и $y = x + 2$.

Question

Accepted Answer

4.5

Answer

Сначала найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^2 = x + 2$. Переносим все в одну сторону: $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Это и будут пределы интегрирования. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций. На интервале $[-1, 2]$ прямая $y=x+2$ находится выше параболы $y=x^2$. $S = \int_{-1}^{2} ((x+2) - x^2) dx = [\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{2} = (\frac{2^2}{2} + 2(2) - \frac{2^3}{3}) - (\frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) - \frac{(-1)^3}{3}) = (2 + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}) = (6 - \frac{8}{3}) - (\frac{3-12+2}{6}) = \frac{10}{3} - (-\frac{7}{6}) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = 4.5$.

Задача ЕНТ — Интегралы

Варианты ответа

Хочешь решить полный пробный тест?

Похожие задачи по теме «Интегралы»